Mi sentido de la física me dice que la velocidad de lanzamiento es la velocidad de escape.
Esta minimización podría funcionar mejor con una relación del cambio de energía total del sistema de asteroides más el material expulsado a la energía del material expulsado. La ecuación del cohete es de alguna ayuda. La ecuación del cohete es una conservación del resultado del momento con
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
donde V es la velocidad de la masa de reacción,? v y? m es el cambio en la velocidad y la pérdida de masa del "cohete", o en este caso el asteroide, y m y v son la masa y la velocidad inicial del objeto. Establecemos v = 0 y obtenemos
? v = V (? m / m)
y la velocidad integrada es v = V ln (m_i / m_f), para m_i la masa inicial y m_f la masa final. Si el cambio de masa es pequeño, tenemos
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
y el impulso del asteroide al final es p ~ = V (m_i - m_f). Ahora dejamos V = u - v_e, para v_e la velocidad de escape y u la velocidad del objeto desechado. Esto significa que V es la velocidad del objeto desechado "en el infinito".
Supongamos ahora que queremos minimizar la energía cinética del asteroide K = (1/2) p ^ 2 / m_f para un lanzamiento dado de energía cinética E = (1/2)? Mu ^ 2. Construimos una relación adimensional,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
Por cierto, es importante trabajar con una relación adimensional. Así que minimizamos esto para un determinado? My calculamos el u. Entonces minimizamos
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
y esto es cero en v_e = u. Esto parece un poco extraño dada la fórmula de la ecuación del cohete, pero lo analizaré a continuación.
Luego tomamos la segunda derivada para determinar si este es un máximo o mínimo y obtenemos
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
que en u = v_e es -2 <0 y por lo tanto es un min, lo que queremos. También está claro que u = v_e es la energía cinética mínima que podemos impartir a la masa.
Suena extraño que tengamos v ~ = V (m_i / m_f - 1), que para V = u - v_e es cero en u = v_e. Sin embargo, para u = v_e, el asteroide se está moviendo hacia afuera hasta que el objeto desechado alcanza el infinito. El propósito de hacer esto es crear un desplazamiento del asteroide, y cuando el objeto desechado alcanza el "infinito", el asteroide alcanzará cierta distancia de desplazamiento.
LC
